Expression des coordonnées d'un vecteur

La mécanique utilise l'outil vectoriel pour modéliser les forces, le déplacement, la vitesse, l'accélération et enfin les champs. Mais la manipulation de cet outil est très « physicienne », notamment dans son écriture. Tout simplement car la physique s'appuie sur l'expérience et utilise les données disponibles.

Obtenir l'expression des coordonnées d'un vecteur vitesse par exemple.

Considérons un vecteur vitesse définit en un point de la trajectoire. Posons le point A (départ du vecteur) et le point B (arrivée du vecteur). Dans ces conditions, on peut comme en mathématiques appeler ce vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

Un vecteur vitesse en un point de la trajectoire

On peut alors écrire : \(\overrightarrow{AB} = (x_{B} - x_{A}) \cdot \vec{i} + (y_{B} - y_{A}) \cdot \vec{j}\).

ou encore

\(\overrightarrow{AB} \left | \begin{array}{l} x_{B} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} \end{array} \right.\)

Revenons maintenant à l'écriture du physicien :

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{V}\)

et 

\(x_{B} - x_{A} = V_{x}\) et \(y_{B} - y_{A} = V_{y}\)

Alors :

\(\overrightarrow{V} \left |\begin{array}{l} V_{x} \\ V_{y} \end{array} \right.\)

Petit passage par la trigonométrie

Travaillons maintenant avec le triangle rectangle formé par le segment AB en noir, le segment \(x_{B} - x_{A}\) en rouge et le segment \(y_{B} - y_{A}\) en vert.

Dans ces conditions, on peut écrire :

\(cos(\alpha) = \dfrac{x_{B}-x_{A}}{AB}\) Soit \(cos(\alpha) = \dfrac{V_{x}}{V}\)

ou encore : \(V_{x} = V \times cos(\alpha)\)

et

\(sin(\alpha) = \dfrac{y_{B}-y_{A}}{AB}\) Soit \(sin(\alpha) = \dfrac{V_{y}}{V}\)

ou encore : \(V_{y} = V \times sin(\alpha)\)

Alors :

\(\overrightarrow{V} \left |\begin{array}{l} V_{x}= V \times cos(\alpha) \\ V_{y} = V \times sin(\alpha) \end{array} \right.\)

Dans le prochain billet, j'aborderai de nouveau l'expression du vecteur vitesse, mais en partant de sa définition.